Greene grandit à Amarillo au Texas et effectue ses études au New Mexico Military Institute où il joue au sein de l'équipe de Football pendant 3 ans. Dès qu'il le peut, il s'engage dans l'U.S. Army Air Corps afin d'y entreprendre une formation de pilote. Paul obtient ses ailes à Randolph Field, class 40-C en même temps que R.T. Smith, lui aussi futur membre de l'AVG (American Volunteer Group). L'année suivante, alors instructeurs à Randolph, Smith et lui sont recrutés pour rejoindre l'AVG. afin de défendre la route Birmane vers la Chine alors en guerre contre le Japon. Bien qu'ils n'aient jamais volé sur P-40, leur insistance à s'engager leur permet de partir pour la Chine.

Greene est intégré au Squadron 3 de l'AVG et participe à son premier combat le 23 décembre au-dessus de Rangoon. Au cours de cette mission, il est attaqué par plusieurs chasseurs Japonais et doit sauter en parachute. Les pilotes Japonais font alors plusieurs passages et mitraillent le malheureux pilote qui s'en sort en faisant finalement le mort laissant penser aux pilotes Japonais qu'ils étaient parvenu à leurs fins. En avril 1942, Smith et lui attaquent un groupe de 7 Zero et parviennent à uen abattre un chacun. Malheureusement l'avion de Smith est touché et il doit se poser dans un champs à flan de montagne. Parvenu à se poser sans endommager l'appareil, il peut redécoller avec après que celui-ci ait été réparé, permettant ainsi de préserver l'un des précieux chasseurs de l'unité.

Après la dissolution des Tigres Volants, Greene est remercié et rentre aux USA où il intègre l'Army Air Corps avec le grade de 2nd Lt. Il progresse alors rapidement en grade et atteint le grade de Major. Il est alors affecté à l'Army's Air Training Command dans le Golf du Texas dans une école de bombardemement. Au cours des 2 années qui suivent, promu Lieutenant Colonel, il est envoyé en Italie avec la 15th Air Force pour prendre le commandement du 97th Fighter Squadron du 82nd Group sur Lockheed P-38s. Lorsqu'il rentre aux USA, il est affecté au Pentagone.

Après guerre, Greene se lance dans les affaires avec Succès. Il développe un système de pompe qui permet de doubler le volume de pompage et de rendre les fermiers moins dépendant de l'électricité. Il travaillera aussi dans l'industrie du coton et restera actif tout au long de sa vie dans le domaine aéronautique comme constructeur, pilote, etc.

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